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Nombres complexes

Définition

Il existe un ensemble que l’on notera C\mathbb{C} dont les éléments sont appelés nombres complexes.

  1. R⊂C\mathbb{R} \subset \mathbb{C}.
  2. C\mathbb{C} possède un élément ii qui vérifie l’équation i2=−1i^2 = -1.
  3. Dans C\mathbb{C} on peut définir deux opérateurs ++ et ×\times généralant celles de R\mathbb{R} si on prend en compte le fait que i2=−1i^2 = -1.
  4. Tout nombre complexe z∈Cz \in \mathbb{C} s’écrit de façon unique z=a+ibz = a + ib avec aa et bb sont des réels.

Opérations sur les Complexes

Pour tout z,z′,z′′∈Cz, z', z'' \in \mathbb{C}, on a :

  1. (z+z′)+z′′=z+(z′+z′′)(z + z') + z'' = z + (z' + z'') (associativité)
  2. z+0=0+z=zz + 0 = 0 + z = z (existence d’un élément neutre)
  3. z+(−z′)=(−z′)=z=0z + (-z') = (-z') = z = 0 (existence d’une symétrie)
  4. z+z′=z′+zz + z' = z' + z (commutativité)
  5. (zz′)z′′=z(z′z′′)(zz')z'' = z(z'z'') (associativité)
  6. z×1=1×z=zz \times 1 = 1 \times z = z (élément neutre)
  7. z×(z′+z′′)=zz′+zz′′z \times (z' + z'') = zz' + zz'' (distributivité)
  8. zz′=z′zzz' = z'z (commutivité)

Réel et Imaginaire

  • Le réel aa s’appelle la partie réelle de z. On le note Re(z)Re(z).
  • Le réel bb s’appelle la partie imaginaire de z. On le note Im(z)Im(z).
  • L’écriture z=a+ibz = a + ib s’appelle l’écriture algébrique.

Proposition

Pour tout z,z′∈Cz, z' \in \mathbb{C} et tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R} :

  • Re(z+λz′)=Re(z)+λRe(z′)Re(z + \lambda z') = Re(z) + \lambda Re(z')
  • Im(z+λz′)=Im(z)+λIm(z′)Im(z + \lambda z') = Im(z) + \lambda Im(z')

Conjuguaison

Soit z=a+ib∈Cz = a + ib \in \mathbb{C} avec a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.

On appelle le nombre complexe conjugué de zz le nombre (a−ib)(a - ib) que l’on note z‾\overline{z}.

Exemples

  • 3−5i‾=3+5i\overline{3 - 5i} = 3 + 5i
  • (3i−4)‾=−3i−4\overline{(3i - 4)} = -3i -4

Propositions

Pour tous z,z′∈Cz, z' \in \mathbb{C} on a :

  1. z‾‾=z\overline{\overline{z}} = z
  2. z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}
  3. z×z′‾=z‾×z′‾\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}
  4. z‾z′‾=zz′\frac{\overline{z}}{\overline{z'}} = \frac{z}{z'}

Affixe d’un point ou vecteur

Soit z∈Cz \in \mathbb{C} avec z=x+iyz = x + iy où x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}

  • Le point M(x;y)M(x; y) est appelé le point image de zz et se note M(z)M(z) ou MzM_z.
  • Le vecteur v(x,y)→\overrightarrow{v(x, y)} est appelé le vecteur image de zz et se note v(z)→\overrightarrow{v(z)} ou vz→\overrightarrow{v_z}.

On a donc vz→=OMz→\overrightarrow{v_z} = \overrightarrow{OM_z}

Proposition

  1. Pour tout z,z′∈Cz, z' \in \mathbb{C} et pour tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R} : vz+λz′→=vz→+λvz′→\overrightarrow{v_{z + \lambda z'}} = \overrightarrow{v_z} + \lambda \overrightarrow{v_z'}.
  2. Si AA et BB sont des points d’affixes respectifs zAz_A et zBz_B alors le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour affixes zb−zaz_b - z_a.